Question

平面上有兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P為圓x²+y²-6x-8y+21=0上的一點(diǎn)，試求S=|AP|²+|BP|²的最大值與最小值，并求相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則有S=4（3x₀ +4y₀-10），設(shè)x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ，則S=40sin（θ+∅）+60，其中，
tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

．根據(jù)-1≤sin（θ+∅）≤1，可得20≤S≤100，當(dāng)S=100時(shí)，sin（θ+∅）=1，θ+∅=

π

2

，
θ=

π

2

-∅，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理求得 S=20時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：把已知圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-3）²+（y-4）²=4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則S=|AP|2+|BP|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02+1)．…（2分）
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在已知圓上，∴x02+y02-6x₀ +8y₀-21=0，∴S=4（3x₀ +4y₀-10）．
∵（x-3）²+（y-4）²=4，可設(shè)x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ．
∴S=4（3x₀ +4y₀-10）=4（6cosθ+8sinθ+15）=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

．
∵-1≤sin（θ+∅）≤1，∴20≤S≤100，再由tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

，可得 cos∅=

4

5

，sin∅=

3

5

．
當(dāng)S=100時(shí)，sin（θ+∅）=1，θ+∅=

π

2

，θ=

π

2

-∅．
∴sinθ=cos∅=

4

5

，cosθ=sin∅=

3

5

，∴x₀=3+2cosθ=

21

5

，y₀ =4+2sinθ=

28

5

．
當(dāng) S=20時(shí)，sin（θ+∅）=-1，θ+∅=

3π

2

，θ=

3π

2

-∅．sinθ=-cos∅=-

4

5

，cosθ=-sin∅=-

3

5

，
∴x₀=3+2cosθ=

9

5

   y₀ =4+2sinθ=

12

5

．
∴S的最大值是100，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

21

5

，

28

5

)，S的最小值是20，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

9

5

，

12

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．