Question

平面上有兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），點(diǎn)P在圓周（x-3）²+（y-4）²=4上，則使得AP²+BP²取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式，得到AP²+BP²的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的最值，可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：∵點(diǎn)P在圓周（x-3）²+（y-4）²=4上，設(shè)

x=3+2cost y=4+2sint

t∈R
∵A（-1，0），B（1，0），
∴AP²+BP²=（3+2cost+1）²+（4+2sint）²+（3+2cost-1）²+（4+2sint）²=（4+2cost）²+（3+2sint）²+（2+2cost）²+（4+2sint）²=16+16cost+4cos²t+9+12sint+4sin²t
=29+16cost+12sint=29+20sint（t+φ），其中sinφ=

4

5

，cosφ=

3

5

  
∴當(dāng)t+φ=-

π

2

+2kπ，k∈Z時(shí)，AP²+BP²取到最小值，此時(shí)sint=-sinφ=-

4

5

，cost=-cosφ=-

3

5

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

9

5

，

12

5

）
故答案為：（

9

5

，

12

5

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的方程的綜合應(yīng)用，和平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，通過三角換元將二元問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)了消元的目的．