Question

【題目】已知，AB為圓O的直徑，CD為垂直AB的一條弦，垂足為E，弦AG交CD于F．

（1）求證：E、F、G、B四點(diǎn)共圓；
（2）若GF=2FA=4，求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連結(jié)BG，

由AB為直徑可知∠AGB=90°

又CD⊥AB，所以∠BEF=∠AGB=90°，

因此E、F、G、B四點(diǎn)共圓．

（2）解：連結(jié)BC，由E、F、G、B四點(diǎn)共圓，

所以AFAG=AEBA，

在Rt△ABC中，AC2=AEBA，

由于GF=2FA=4，得AF=2，F(xiàn)G=4，即有AG=6，

所以AC2=2×6，

故AC=2

【解析】（1）連結(jié)BG，由AB為直徑可知∠AGB=90°，又CD⊥AB，由此能證明E、F、G、B四點(diǎn)共圓；（2）連結(jié)BC，由E、F、G、B四點(diǎn)共圓，運(yùn)用切割線(xiàn)定理，得AFAG=AEBA，再由直角三角形ABC中的射影定理，得AC2=AEBA，代入數(shù)據(jù)，即可求出線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．