Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，.

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）因為所以要證平面，即證平面，轉(zhuǎn)證（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，所以.

因為，所以四邊形為平行四邊形，

所以，且.又，，

所以，

所以，所以.

又因為，，所以平面.

又因為，所以平面.

（2）由（1）知平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則,，，，

所以，，.，

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

取，得平面的一個法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

取，得平面的一個法向量為，

所以.

因為二面角是一個銳二面角，所以余弦值為.