Question

【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計	30	20	50

（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97．5%的把握認(rèn)為視覺和空軍能力與性別有關(guān)？

（Ⅱ）經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5—7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．

（Ⅲ）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

附表及公式

	0．15	0．10	0．05	0．025	0．010	0．005	0．001
	2．072	2．706	3．841	5．024	6．635	7．879	10．828

Answer 1

【答案】（I）有的把握認(rèn)為視覺和空軍能力與性別有關(guān)；（II）；（III）分布列見解析，.

【解析】試題分析：（I）代入公式，計算，所以有的把握認(rèn)為有關(guān)；（II）將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的為題，兩者解題事件滿足可行域，且滿足“”其中甲、乙解答一道幾何題的時間分別為、分鐘.畫出可行域，利用幾何概型的知識可求得概率為；（III）基本事件的總數(shù)為種，分別求出甲、乙兩人沒有一個人被抽到；恰有一人被抽到、兩人都被抽到的概率，由此得到分布列和數(shù)學(xué)期望.

試題解析：

（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)得的觀測值

所以根據(jù)統(tǒng)計有97．5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)．

（Ⅱ）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時間分別為、分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域為（如圖所示）

設(shè)事件為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區(qū)域為

由幾何概型即乙比甲先解答完的概率為

（Ⅲ）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有種；恰有一人被抽到有種；兩人都被抽到有種

可能取值為0，1，2，，

，

的分布列為：

．

	0	1	2