【題目】已知向量
，
， 
（1）求函數(shù)
的最小正周期及
取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值；
（2）在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊為a、b、c，若
,求三角形ABC面積的最大值并說(shuō)明此時(shí)該三角形的形狀.
【答案】(1)最小正周期為π，最大值為
， 
(2) 
，等邊三角形
【解析】試題分析：（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)
的坐標(biāo)，再利用平面向量的數(shù)量積、二倍角公式及配角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式 ，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；（2）先利用
求出角
，再利用余弦公式、基本不等式和三角形的面積公式進(jìn)行求解.
試題解析：（1）由已知得
，又
于是
∴ 
的最小正周期為
；
當(dāng)
，即
，的最大值為
.
（2）銳角三角形
中，由（1）得
∴ 
，∴
由余弦定理知
∴
即
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取得等號(hào)成立) ∴
,
∴當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)面積取得最大值為
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是平行四邊形， 
，側(cè)面
底面
， 
， 
， 
， 
分別為
， 
的中點(diǎn)，點(diǎn)
在線段
上．
（1）求證： 
平面
；
（2）如果直線
與平面
所成的角和直線
與平面
所成的角相等，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)有一個(gè)正方形網(wǎng)格，其中每個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)都為5 cm.現(xiàn)用直徑為2 cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線有公共點(diǎn)的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）若
，證明：函數(shù)
在
上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)
，使得函數(shù)
在
內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （參考數(shù)據(jù)： 
， 
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，曲線
在點(diǎn)
處的切線方程為
。
（1）求
、
的值；
（2）如果當(dāng)
，且
時(shí)， 
，求
的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：（單位：人）
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97．5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空軍能力與性別有關(guān)？
（Ⅱ）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5—7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6—8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為
，求的分布列及數(shù)學(xué)期望
．
附表及公式
| 0．15 | 0．10 | 0．05 | 0．025 | 0．010 | 0．005 | 0．001 |
| 2．072 | 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 7．879 | 10．828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】圍建一個(gè)面積為360
的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為
（單位：
），修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為
（單位：元）
（1）將表示為的函數(shù)；
（2）試確定,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測(cè)兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在
內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品. 表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖.
表1：甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
頻數(shù) | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
圖1：乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖
（Ⅰ）將頻率視為概率. 若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則其中的不合格品約有多少件；
（Ⅱ）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；
甲套設(shè)備 | 乙套設(shè)備 | 合計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計(jì) |
（Ⅲ）根據(jù)表1和圖1，對(duì)兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m＝
，n＝
，現(xiàn)有如下命題：
①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m＞0；
②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n＞0；
③對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝n；
④對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝－n.
其中真命題有___________________（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）.
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