Question

過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l₁、l₂,若l₁交x軸于A點(diǎn),l₂交y軸于B點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

解法一:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).

∵M為線段AB的中點(diǎn),

∴A的坐標(biāo)為(2x,0),B的坐標(biāo)為(0,2y).

∵l₁⊥l₂,且l₁、l₂過點(diǎn)P(2,4),

∴PA⊥PB,k_PA·ｋ_PB=-1.

而,

,∴.

整理,得x+2y-5=0(x≠1)

∵當(dāng)x=1時,A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,4),

∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),它滿足方程 x+2y-5=0.

綜上所述,點(diǎn)M的軌跡方程是x+2y-5=0.

解法二:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)、(0,2y),連結(jié)PM.

∵l₁⊥l₂,∴2|PM|=|AB|.

而,

,

∴,

化簡,得x+2y-5=0,為所求軌跡方程.

解法三:∵l₁⊥l₂,OA⊥OB,

∴O、A、P、B四點(diǎn)共圓,且該圓的圓心為M.

∴|MP|=|MO|.

∴點(diǎn)M的軌跡為線段OP的中垂線.

∵,OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

∴點(diǎn)M的軌跡方程是y-2=(x-1),

即x+2y-5=0.

啟示:在平面直角坐標(biāo)系中,遇到垂直問題,常利用斜率之積等于-1解題,但需注意斜率是否存在,即往往需要討論,如解法一.求軌跡方程有時利用平面幾何知識更為方便快捷