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          已知正項數(shù)列{an}滿足
          a 1
          =P(0＜P＜1)，且
          a n+1
          =
          a n
          a n
          +1
          ，
          （1）求數(shù)列的通項an；
          （2）求證：
          a 1
          2
          +
          a 2
          3
          +
          a 3
          4
          +…+
          a n
          n+1
          ＜1          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          由已知an+1=
          an
          an+1
          可得，
          1
          an+1
          =
          an+1
          an
          =
          1
          an
          +1          ，
          1
          a1
          =
          1
          p

          即
          1
          an+1
          -
          1
          an
          =1
          數(shù)列{
          1
          an
          }是以
          1
          p
          為首項，以1為公差的等差數(shù)列
          ∴
          1
          an
          =
          1
          p
          +(n-1)×1=n-1+
          1
          p
          即an=
          1
          n-1+
          1
          p

          ∵0＜P＜1∴
          1
          p
          -1＞0
          ∴
          an
          n+1
          =
          1
          (n+1)(n-1+
          1
          p
          )
          ＜
          1
          n(n+1)
          =
          1
          n
          -
          1
          n+1

          a1
          2
          +
          a2
          3
          +…+ 
          an
          n+1
           ＜          1-
          1
          2
          +
          1
          2
          -
          1
          3
          +…+
          1
          n
          -
          1
          n+1
          =1-
          1
          n+1
          =
          n
          n+1
          ＜1          即證
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
          （1）求證：數(shù)列{
          an
          2n+1
          }          為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an．
          （2）設(shè)bn=
          1
          an
          ，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，并求Sn的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          定義：稱
          n
          a1+a2+…+an
          為n個正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
          1
          2n
          ，則
          lim
          n→∞
          nan
          sn
          （　�。�
          
                
          A、0
          B、1
          C、2
          D、
          1
          2
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知正項數(shù)列an中，a1=2，點(
          		an
          ，an+1)          在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點（bn，Tn）在直線y=-
          1
          2
          x+3          上，其中Tn是數(shù)列bn的前項和．（n∈N+）．
          （1）求數(shù)列an的通項公式；
          （2）求數(shù)列bn的前n項和Tn．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
          （1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
          （2）記Tn為數(shù)列{
          1
          log2bn+1•log2bn+2
          }          的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
          1
          2
          a)          對?n∈N+恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知正項數(shù)列{an}，Sn=
          1
          8
          (an+2)2
          （1）求證：{an}是等差數(shù)列；
          （2）若bn=
          1
          2
          an-30          ，求數(shù)列{bn}的前n項和．
          

			
          

			
          
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