Question

已知圓C過點(diǎn)P（1，1）且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，作斜率為1的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（1，1）在直線l的左上方．
（1）求圓C的方程．
（2）證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在定直線x=1上．
（3）若∠APB=60°，求△PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，b），由圓M的方程找出M的坐標(biāo)，根據(jù)圓C與圓M關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出線段MC的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線x+y+2=0中，得到關(guān)于a與b的方程，記作①，再求出直線x+y+2=0的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線MC的斜率，根據(jù)M和C的坐標(biāo)列出關(guān)于a與b的令一個(gè)方程，記作②，聯(lián)立①②組成方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由圓C經(jīng)過P，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|CP|的長(zhǎng)，即為圓C的半徑，由圓心和半徑寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=x+m，并設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線AB與圓C的方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂與x₁x₂，由P，A及B的坐標(biāo)，利用求直線斜率的方法表示出k_PA+k_PB，將其中的y₁與y₂分別換為x₁+m，x₂+m，整理化簡(jiǎn)后得到其中為0，可得∠APB的平分線為垂直于x軸的直線，由P的橫坐標(biāo)為1，得到三角形內(nèi)切圓的圓心必然在直線x=1上，得證；
（3）由∠APB=60°，得到直線BP的傾斜角，根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得到直線BP的斜率，由（2）中兩斜率之和為0，求出直線AP的斜率，可得出直線AP的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線AP的距離，即為弦心距，由圓的半徑，弦心距，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)的一半，即可得到AP的長(zhǎng)，同理求出PB的長(zhǎng)，由PA，PB及sin∠APB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形APB的面積．

解答：解：（1）設(shè)圓心C（a，b），由題意得到圓M坐標(biāo)為（-2，-2），
又圓C與圓M關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，
∴

a-2

2

+

b-2

2

+2=0①，…（2分）
又直線x+y+2=0的斜率為-1，
∴直線CM的斜率為1，即

b+2

a+2

=1②，
聯(lián)立①②解得：a=b=0，
∴圓心C坐標(biāo)為（0，0），又P（1，1）在圓C上，
半徑r²=（0-1）²+（0-1）²=2，
∴圓C的方程為x²+y²=2…（4分）
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2+y2=2 y=x+m

，消去y得：2x²+2mx+m²-2=0，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=

m2-2

2

，
∴k_PA+k_PB=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

x1-1+m

x1-1

+

x2-1+m

x2-1

=2+

m

x1-1

+

m

x2-1

=2+

m(x1+x2-2)

x1x2-(x1+x2)+1

=2+

m(-m-2)

m2-2 2 +m+1

=2-

2(m2+2m)

m2+2m

=0，
即k_PA+k_PB=0，
∴∠APB的平分線為垂直于x軸的直線，又P（1，1），
則△PAB的內(nèi)切圓的圓心在直線x=1上；…（10分）
（3）若∠APB=60°，結(jié)合（2）可知：kPA=

3

，kPB=-

3

，…（11分）
直線PA的方程為：

3

x-y+1-

3

=0，
圓心O到直線PA的距離d=

3 -1

2

，
∴PA=2

2-d2

=2

2-( 3 -1 2 )2

=

3

+1，…（13分）
同理可得：PB=

3

-1，…（15分）
∴S_△PAB=

1

2

PA•PB•sin60°=

3

2

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程，直線與圓相交的性質(zhì)，韋達(dá)定理，垂徑定理，勾股定理，關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程，直線的點(diǎn)斜式方程，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，是一道綜合性較強(qiáng)的題，要求學(xué)生掌握知識(shí)要靈活全面．