Question

已知圓C過點P（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于x+y+2=0對稱．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點（

2

，2）作圓C的切線，求切線的方程；
（Ⅲ）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交A，B兩點，設(shè)直線PA和直線PB的斜率分別為k，-k，O為坐標原點，試判斷直線OP和直線AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)圓心C（a，b），則點C與圓M的圓心M（-2，-2）關(guān)于直線x+y+2=0對稱．可得

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解出可得a，b，利用r=|CP|即可；
（II）當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y=k(x-

2

)+2，利用圓心C到切線的距離d=r可得

|2- 2 k|

1+k2

=

2

，解得k即可；
當切線的斜率不存在時，切線存在且方程為x=

2

．
（III）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)．則直線PA的方程為：y-1=k（x-1），直線PB的方程為：y-1=-k（x-1），
分別與⊙C的方程聯(lián)立可得x_A，x_B，利用向量計算公式可得k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

與比較k_OP=1即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（a，b），則點C與圓M的圓心M（-2，-2）關(guān)于直線x+y+2=0對稱．
則

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得

a=0 b=0

，
則圓C的方程為x²+y²=r²，將點P的坐標代入得r²=2，
故圓C的方程為x²+y²=2．
（Ⅱ）當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y=k(x-

2

)+2，則

|2- 2 k|

1+k2

=

2

，解得k=

2

4

，
∴切線方程為y=

2

4

x+

3

2

，
當切線的斜率不存在時，切線方程為x=

2

，
∴切線的方程為y=

2

4

x+

3

2

或x=

2

．
（Ⅲ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，
則直線PA的方程為：y-1=k（x-1），直線PB的方程為：y-1=-k（x-1），
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
∵點P的橫坐標1一定是該方程的解，故可得xA=

k2-2k-1

1+k2

，
同理，x_B=

k2+2k-1

1+k2

，
∴x_A+x_B=

2k2-2

1+k2

，xB-xA=

4k

1+k2

．
∴k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_OP，
∴直線AB和OP一定平行．

點評：本題綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系、相切轉(zhuǎn)化為圓心到切線的距離等于半徑、相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、點到直線的距離公式、點關(guān)于直線對稱等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．