Question

已知f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx，x∈[0，

π

2

]．
（1）求函數(shù)f（x）的最值，及相應的x值；
（2）若|f（x）-a|≤2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=-2af（x）+2a+b，是否存在常數(shù)a，b∈Z，使得g（x）的值域為[-2，4]？若存在，求出相應a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質即可求出f（x）的最值以及此時x的值；
（2）絕對值不等式變形后，根據(jù)函數(shù)f（x）的值域列出不等式組，求出不等式組的解集即可得到a的范圍；
（3）求出f（x）的值域，假設存在a與b，分兩種情況考慮：（i）a小于0時，（ii）a大于0時，分別列出關于a的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．

解答：解：（1）f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=1-cos2x+

3

sin2x=2sin（2x-

π

6

）+1，
∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）_max=3；當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，f（x）_min=0；
（2）由|f（x）-a|≤2，得a-2≤f（x）≤a+2，
若|f（x）-a|≤2，x∈[0，

π

2

]恒成立，
根據(jù)f（x）∈[0，3]，得到

a-2≤0 a+2≥3

，
解得：1≤a≤2；
（3）由（1）知0≤f（x）≤3，假設a，b存在，分兩種情況考慮：
（i）當a＜0時，根據(jù)題意得：

2a+b=-2 -6a+2b+a=4

，
解得：

a=-1 b=0

，滿足題意；
（ii）當a≥0時，根據(jù)題意得：

2a+b=4 -6a+2a+b=-2

，
解得：

a=1 b=2

，滿足題意．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及函數(shù)恒成立問題，熟練掌握公式是解本題的關鍵．