Question

（2012•安徽模擬）已知f(x)=2si

n

2

x+2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）通過二倍角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，然后求解f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，求f（x）的相位的范圍，利用正弦函數(shù)的最值求解函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=2si

n

2

x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+

2

sin（2x-

π

4

）
所以f（x）的最小正周期為π，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
當(dāng)x=

3π

8

時(shí)，f（x）取得最大值

2

+1，
當(dāng)x=0時(shí)f（x）的最小值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．