Question

【題目】一個(gè)正方形被剖分為4個(gè)正方形，剖分圖的邊數(shù)為12.若一個(gè)正方形被剖分為2005個(gè)凸多邊形，試求剖分圖中邊數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】正方形剖分為2005個(gè)凸多邊形時(shí)，邊的最大值為6016.

【解析】

由歐拉定理可知，簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)有如下關(guān)系：.

由歐拉定理容易看出，若一個(gè)凸多邊形被剖分為個(gè)凸多邊形，則剖分圖中的頂點(diǎn)數(shù)、多邊形數(shù)、邊數(shù)滿(mǎn)足

. ①

下面在一般的情況下，即正方形被剖分為個(gè)凸多邊形時(shí)，求剖分圖中邊數(shù)的最大值.設(shè)剖分圖中的頂點(diǎn)數(shù)為、多邊形數(shù)為、邊數(shù)為.

（1）先求邊數(shù)的上界.

設(shè)原正方形的4個(gè)頂點(diǎn)是、、、.若凸多邊形的頂點(diǎn)，則易知

（這里用表示過(guò)頂點(diǎn)的邊數(shù)）.

故.

注意到這樣的頂點(diǎn)有個(gè)，于是，有個(gè)上面的不等式.將它們相加求和，并注意到除去正方形四邊的每條邊恰是兩個(gè)凸多邊形的邊，有

.

即.

因?yàn)?/span>，，，.

則. ②

由式①有

.

將式②代入式③，并整理得

，即.

（2）構(gòu)造例子，使邊數(shù).

如圖，過(guò)正方形的一邊相繼作條鄰邊的平行線，正方形被剖分為個(gè)矩形，易知，邊數(shù)

.

綜上所述，剖分圖中邊數(shù)的最大值為.

所以，正方形剖分為2005個(gè)凸多邊形時(shí)，邊的最大值為6016.