Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，點(diǎn)M，N分別為A1B和B1C1的中點(diǎn)．

（1）求異面直線A1B與NC所成角的余弦值；

（2）求A1B與平面NMC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A1B與NC所成角的余弦值；

（2）求出平面MNC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出A1B與平面NMC所成角的正弦值．

（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，于是，，，.

∴，，

設(shè)異面直線與所成角為，則

.

∴異面直線與所成角的余弦值為.

（2），，，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

，取，

設(shè)向量和向量的夾角為，

則 ，

∴與平面所成角的正弦值為.