Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

1

x

+（1-a）lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若a≤0，討論函數(shù)求f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=ax在（0，1）上有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，寫出切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)a分類討論；
（3）由f（x）=ax得a=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），令g（x）=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的極值即得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x+

1

x

-lnx，f′（x）=2-

1

x2

-

1

x

，
∴f（1）=3，f′（1）=0，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=3．
（Ⅱ）f′（x）=a-

1

x2

+

1-a

x

=

ax2+(1-a)x-1

x2

  （x＞0），
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
若a≠0，f′（x）=

ax2+(1-a)x-1

x2

=0，解得x=1或x=-

1

a

，
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，1）和（-

1

a

，+∞）單調(diào)遞減，在（1，-

1

a

）單調(diào)遞增；
③當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
④當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在（0，-

1

a

）和（1，+∞）單調(diào)遞減，在（-

1

a

，1）單調(diào)遞增；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）=ax時(shí)，

1

x

=（1-a）lnx=0，∴a=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），
令g（x）=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），g′（x）=

-(lnx+1)

(xlnx)2

=0，解得x=

1

e

．
∴當(dāng)x=

1

e

時(shí)，g（x）有極大值1-e，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1-e）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題及判斷函數(shù)的單調(diào)性求極值問題，考查轉(zhuǎn)化劃歸思想及分類討論思想的運(yùn)用能力，屬難題．