Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：函數(shù)在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令得或，再對分類討論可得；

（2）由（1）函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，分類討論計(jì)算可得；

解：（1），，

令得或，易知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

①當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，令得或，令得，

故在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，令得或，令得，

故在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；

且，

，即，故函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；故的極小值為，因此在上無零點(diǎn)；的極大值為，又，，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，因此，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故的極小值為，又，，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，的極大值為，又，故在上無零點(diǎn)，因此，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).