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        1. 在△ABC中,∠A=60°,M是AB的中點(diǎn),若|AB|=2,|BC|=2
          3
          ,D在線段AC上運(yùn)動(dòng),則下面結(jié)論正確的是
          ①②④
          ①②④

          ①△ABC是直角三角形;   
          DB
          DM
          的最小值為
          23
          16

          DB
          DM
          的最大值為2;   
          ④存在λ∈[0,1]使得
          BD
          BA
          +(1-λ)
          BC
          分析:①根據(jù)余弦定理②③④
          解答:解:①設(shè)|AC|=x,則由余弦定理得(2
          3
          )=22+x2-2×2xcos60°,
          即12=4+x2-2x,
          ∴x2-2x-8=0,解得x=4或x=-2(舍去),
          ∴|AC|=4,∴∠B=90°,即①△ABC是直角三角形,∴①正確.
          ②將直角三角形ABC放入坐標(biāo)系中,
          則B(0,0),A(0,2),M(0,1),C(2
          3
          ,0
          ),
          AC
          =(2
          3
          ,-2)
          ,
          設(shè)
          AD
          =m
          AC
          =(2
          3
          m,-2m)
          ,0≤m≤1,設(shè)D(x,y),
          則(x,y-2)=(2
          3
          m,-2m
          ),
          解得x=2
          3
          m
          ,y=2-2m,
          即D(2
          3
          m,2-2m
          ).
          DB
          =(-2
          3
          m,2m-2)
          ,
          DM
          =(-2
          3
          m,2m-1)
          ,
          DB
          DM
          =(-2
          3
          m
          2+(2m-2)(2m-1)=16m2-6m+2=16(m-
          3
          16
           2+
          23
          16

          ∴當(dāng)m=
          3
          16
          時(shí),
          DB
          DM
          的最小值為
          23
          16
          ,∴②正確.
          ③由②知
          DB
          DM
          =)=16m2-6m+2=16(m-
          3
          16
           2+
          23
          16
          ,
          ∵0≤m≤1,∴當(dāng)m=1時(shí),
          DB
          DM
          的最大值為16-6+2=12,∴③錯(cuò)誤.
          BD
          =(2
          3
          m,2-2m)
          ,
          BA
          =(0,2),
          BC
          =(2
          3
          ,0
          ),
          BD
          BA
          +(1-λ)
          BC

          則(2
          3
          m,2-2m
          )=λ(0,2)+(1-λ)(2
          3
          ,0
          ),
          2
          3
          m=(1-λ)•2
          3
          2-2m=2λ
          ,
          解得
          m=1-λ
          1-m=λ
          ,此時(shí)λ=1-m,
          ∵0≤m≤1,
          ∴0≤λ≤1,
          即存在λ∈[0,1]使得
          BD
          BA
          +(1-λ)
          BC

          ∴④正確.
          故答案為:①②④
          點(diǎn)評:本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,以及數(shù)量積的應(yīng)用,根據(jù)條件將三角形放入平面直角坐標(biāo)系中,利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•臨沂一模)已知函數(shù)f(x)=cos
          x
          2
          -
          3
          sin
          x
          2

          (I)若x∈[-2π,2π],求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
          (Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,若f(2A-
          2
          3
          π)=
          4
          3
          ,sinB=
          5
          cosC,a=
          2
          ,求△ABC的面積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2009•煙臺二模)在△ABC中,a、b、c為角A、B、C所對的三邊.已知b2+c2-a2=bc
          (1)求角A的值;
          (2)若a=
          3
          ,設(shè)內(nèi)角B為x,周長為y,求y=f(x)的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•保定一模)在△ABC中,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊,三邊a、b、c成等差數(shù)列,且B=
          π
          4
          ,則(cosA一cosC)2的值為
          2
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在△ABC中角A、B、C的對邊分別為a、b、c設(shè)向量
          m
          =(a,cosB),
          n
          =(b,cosA)且
          m
          n
          m
          n

          (Ⅰ)若sinA+sinB=
          6
          2
          ,求A;
          (Ⅱ)若△ABC的外接圓半徑為1,且abx=a+b試確定x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,b=
          7
          ,∠B=
          π
          3
          ,則△ABC的面積為( 。

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          同步練習(xí)冊答案