Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，E為CD上任意一點．
（I）求證：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）若CD= a，是否存在這樣的E點，使得AD1與平面B1AE成45°的角？說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（I）連接A1D，B1C，
∵AA1=AD，AA1∥AD，AA1⊥AD，
∴四邊形AA1D1D是正方形，
∴AD1⊥A1D，
∵A1B1⊥平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，
∴A1B1⊥AD1 ，
又A1D平面A1B1CD，A1B1平面A1B1CD，A1B1∩A1D=A1 ，
∴AD1⊥平面A1B1CD，又B1E平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1 ．
（II）以A為原點，以AB，AD，AA1為坐標軸建立空間坐標系，
則A（0，0，0），D1（0，a，a），B1（ a，0，a），設E（m，a，0），（0 ）．
∴ =（0，a，a）， =（ a，0，a）， =（m，a，0）．
設平面B1AE的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令x=1得 =（1，﹣ ，﹣ ）．
∴cos＜ ＞= =﹣ =﹣ ．
假設存在這樣的E點，使得AD1與平面B1AE成45°的角，
則 = ，解得m= a．
∴CD上存在點E使得AD1與平面B1AE成45°的角．

【解析】（I）連接A1D，B1C，則可通過證明AD1⊥平面A1B1CD得出B1E⊥AD1 ． （II）以A為原點建立坐標系，設DE=m，求出 及平面B1AE的法向量 ，令|cos＜ ＞|= 解出m，根據m的值得出結論．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．