Question

【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為，離心率為，過作與軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率存在且不為0，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，若以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)離心率為，，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，直線的方程為，代入橢圓方程可得，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合圓的性質(zhì)以及平面向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，即可求出的值.

(1) 由，①

過作與軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，

, ②

又，③

由①②③解得，

橢圓方程為.

（2）設(shè)，

直線的方程為，代入橢圓方程可得，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，

直線交于點(diǎn)，

以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，，

，

，

整理可得，解得.