Question

設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn).
（1）若是橢圓在第一象限上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且為銳角（其中為原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）設(shè)，求點(diǎn)坐標(biāo),即要構(gòu)建關(guān)于的兩個(gè)方程，第一個(gè)方程可根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)必須適合曲線的方程得到，即有，第二個(gè)方程可由通過(guò)坐標(biāo)化得到，即有，聯(lián)立方程組，可解得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線的斜率的取值范圍，即要構(gòu)建關(guān)于的不等式，可通過(guò)為銳角，轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，解出的取值范圍.注意不要忽略，這是解析幾何中常犯的錯(cuò)誤.
試題解析：（1）依題意有，所以，設(shè)，則由得：，即，又，解得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/90/a/1izaq2.png" style="vertical-align:middle;" />是橢圓在第一象限上一點(diǎn)，所以.
（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，
將直線：代入，整理得： （），
則，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/c/nepfn1.png" style="vertical-align:middle;" />為銳角，所以，從而
整理得：，即，解得，
且（）方程必須滿足：，解得，
因此有，所以直線的斜率的取值范圍為.
考點(diǎn)：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.方程與不等式思想，3.設(shè)而不求的思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.