Question

已知關(guān)于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱．
①求這個二次函數(shù)的解析式；
②已知一次函數(shù)y₂=2x-2，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y₁≥y₂均成立；
（3）在（2）的條件下，若二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-5，0），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y₁≥y₃≥y₂均成立．求二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先此題的方程并沒有明確是一次方程還是二次方程，所以要分類討論：
①m=0，此時方程為一元一次方程，經(jīng)計(jì)算可知一定有實(shí)數(shù)根；
②m≠0，此時方程為二元一次方程，可表示出方程的根的判別式，然后結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．
（2）①由于拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱，那么拋物線的一次項(xiàng)系數(shù)必為0，可據(jù)此求出m的值，從而確定函數(shù)的解析式；
②此題可用作差法求解，令y₁-y₂，然后綜合運(yùn)用完全平方式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．
（3）根據(jù)②的結(jié)論，易知y₁、y₂的交點(diǎn)為（1，0），由于y₁≥y₃≥y₂成立，即三個函數(shù)都交于（1，0），結(jié)合點(diǎn)（-5，0）的坐標(biāo)，可用a表示出y₃的函數(shù)解析式；已知y₃≥y₂，可用作差法求解，令y=y₃-y₂，可得到y(tǒng)的表達(dá)式，由于y₃≥y₂，所以y≥0，可據(jù)此求出a的值，即可得到拋物線的解析式．

解答：解：（1）分兩種情況：
當(dāng)m=0時，原方程化為3x-3=0，解得x=1，
∴當(dāng)m=0，原方程有實(shí)數(shù)根．（1分）
當(dāng)m≠0時，原方程為關(guān)于x的一元二次方程，
∵△=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0．
∴原方程有兩個實(shí)數(shù)根．
綜上所述，m取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根．（3分）
（2）①∵關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴3（m-1）=0．∴m=1．∴拋物線的解析式為y₁=x²-1…（5分）
②∵y₁-y₂=x²-1-（2x-2）=（x-1）²≥0，
∴y₁≥y₂（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立）．…（6分）

（3）由②知，當(dāng)x=1時，y₁=y₂=0．∴y₁、y₂的圖象都經(jīng)過（1，0）．
∵對于x的同一個值，y₁≥y₃≥y₂，
∴y₃=ax²+bx+c的圖象必經(jīng)過（1，0）．（7分）
又∵y₃=ax²+bx+c經(jīng)過（-5，0），∴y₃=a（x-1）（x+5）=ax²+4ax-5a．
設(shè)y=y₃-y₂=ax²+4ax-5a-（2x-2）=ax²+（4a-2）x+（2-5a）．
∵對于x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y₁≥y₃≥y₂均成立，

∴y₃-y₂≥0，
∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0．

又根據(jù)y₁、y₂的圖象可得 a＞0，
∴y最小=

4a(2-5a)-(4a-2)2

4a

≥0．
∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0．∴（3a-1）²≤0．
而（3a-1）²≥0．只有3a-1=0，解得a=

1

3

．
∴拋物線的解析式為y3=

1

3

x2+

4

3

x-

5

3

…（10分）

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法，難度較大．