Question

設定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，當x=-

2

2

時，f（x）取得極大值

2

3

，并且函數(shù)y=f'（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若曲線C對應的解析式為g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

，求曲線C過點P（2，4）的切線方程；
（3）（實）過點A(1，m)(m≠-

1

3

)可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數(shù)，得到b=0，再由當x=-

2

2

時，f（x）取得極大值

2

3

，解得 a=

2

3

，c=-1，由此能求出f（x）．
（2）g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

=

1

3

x3+

4

3

，設切點為（x₀，y₀），則y₀=

1

3

x03+

4

3

，由此能求出切線方程．
（3）設切點坐標為（t，

2

3

t3-t），切線方程為：y-

2

3

t3+t=（2t²-1）（x-t），把A（1，m）代入，得

4

3

t3-2t2+m+1=0，由過點A(1，m)(m≠-

1

3

)可作曲線y=f（x）的三條切線，知

4

3

t3-2t2+m+1=0有三個解，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax³+cx，
∵當x=-

2

2

時，f（x）取得極大值

2

3

，
∴

f(- 2 2 )=- 3 2 4 a- 2 2 c= 2 3 f′(- 2 2 )= 3a 2 +c=0

，
∴解得 a=

2

3

，c=-1，
∴f（x）=

2

3

x3-x．
（2）g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

=

1

3

x3+

4

3

，
設切點為（x₀，y₀），則y₀=

1

3

x03+

4

3

，k=g′（x）| x=x0=x 02，
切線方程為：y-（

1

3

x03+

4

3

）=x02（x-x₀），
代入點P（2，4）化簡得：x 03-3x 02+4=0，解得x₀=-1，或x₀=2，
所以切線方程為：x-y+2=0或4x-y-4=0．
（3）設切點坐標為（t，

2

3

t3-t），
∵f（x）=

2

3

x3-x，∴f′（x）=2x²-1，
則切線方程為：y-

2

3

t3+t=（2t²-1）（x-t），
把A（1，m）代入，得m-

2

3

t3+t=（2t²-1）（1-t），
整理，得

4

3

t3-2t2+m+1=0，
∵過點A(1，m)(m≠-

1

3

)可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴

4

3

t3-2t2+m+1=0有三個解，
記g（t）=

4

3

t3-2t2+m+1，
則g′（t）=4t²-4t，
令g′（t）=4t²-4t=0，得t=0，或t=1，
列表討論，

t	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴當t=0時，g（t）取極大值g（0）=m+1，
當t=1時，g（t）取極小值g（1）=m+

1

3

，
要使g（t）有三個零點，只需m+1＞0且m+

1

3

＜0，解得-1＜m＜-

1

3

．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-1，-

1

3

）．

點評：本題考查函數(shù)表達式的求法，考查切線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質的靈活運用．