Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1= ，an= （n≥2，n∈N+）．
（1）求a2 ， a3 ， a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an ．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解： a1= ，an= ，

∴a2= = ，a3= = ，a4= = ，

猜想：an= ，

（2）解：：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立，

②假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)猜想成立，即ak= ．

那么n=k+1時(shí)，ak+1= = =

∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想仍成立．

根據(jù)①②，可以斷定猜想對(duì)任意的n∈N*都成立．

【解析】（1）由題意a1= ，an= （代入計(jì)算，可求a2、a3、a4值，并根據(jù)規(guī)律猜想出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解歸納推理的相關(guān)知識(shí)，掌握根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理，以及對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的定義的理解，了解數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．