Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在[上的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）不是常見的函數(shù)的單調(diào)性問題，可以采用求導(dǎo)得方法.通過定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來確定單調(diào)性.在本題中，求導(dǎo)得，但發(fā)現(xiàn)還是無法直接判斷其正負(fù).這時(shí)注意到在上單調(diào)遞減，可以得到其最大值，即，而，所以，從而得函數(shù)在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）通過，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)把用表示出來，代入中，由分成與兩段分別定其正負(fù).易知為負(fù)，則化成，再將視為整體，通過研究的單調(diào)性確定的正負(fù)，從而最終得到.本題中通過求導(dǎo)來研究的單調(diào)性，由其最值確定的正負(fù).其中要注意的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022225924535.png" style="vertical-align:middle;" />，從而這個(gè)隱含范圍.
試題解析：（Ⅰ），     1分
易知在上單調(diào)遞減，        2分
∴當(dāng)時(shí)，.      3分
當(dāng)時(shí)，在上恒成立.
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.    5分
（Ⅱ），是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
  （1）
  （2）    6分
由（2）-（1）得：
，    8分
，所以
，
將代入化簡得：    9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022226423737.png" style="vertical-align:middle;" />，故只要研究的符號
    10分
令，則，且，
令，                       12分
所以，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，
，所以，又，故，所以，即，又
，所以.    14分