Question

【題目】（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數(shù)，求的值；

（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；

（3）已知當(dāng)時，有，根據(jù)此信息，若對任意，都有，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；

【解析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；

（2）假設(shè)存在，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論；

（3）利用類比推理和分類計數(shù)原理可得的值.

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，

由于或，所以方程中有個，個，

從而可得到解的情況共有個，

所以.

令，

所以，

所以，

所以，即.

（2）當(dāng)取偶數(shù)時，中所有項(xiàng)都是中的項(xiàng).

由題意：均在數(shù)列中，當(dāng)時，

，

說明數(shù)列的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng).

當(dāng)取奇數(shù)時，因?yàn)?/span>不是整數(shù)，所以數(shù)列的所有項(xiàng)都不在數(shù)列中.

綜上所述：為正偶數(shù).

（3）當(dāng)時，有①

當(dāng)時，②

又對任意，都有③

所以即為的系數(shù)，

可取①中、②中的1；或①中、②中的；或①中、②中的；

或①中的、②中的；

所以.