Question

若曲線y=

1-x2

與直線y=x+b始終有交點，則b的取值范圍是

 

；若有一個交點，則b的取值范圍是

 

；若有兩個交點，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據曲線方程的特點得到此曲線的圖象為一個半圓如圖所示，然后分別求出相切、過（-1，0）及過（1，0）的直線方程，利用圖象即可得到滿足條件的b的范圍．

解答：解：曲線y=

1-x2

代表半圓，圖象如圖所示．
當直線與半圓相切時，圓心（0，0）到直線y=x+b的距離d=

|b|

1+1

=r=1，
解得b=

2

，b=-

2

（舍去），
當直線過（-1，0）時，把（-1，0）代入直線方程y=x+b中解得b=1；
當直線過（1，0）時，把（1，0）代入直線方程y=x+b中解得b=-1．
根據圖象可知直線與圓有交點時，b的取值范圍是：[-1，

2

]；
當有一個交點時，b的取值范圍為：[-1，1）∪{

2

}；
當有兩個交點時，b的取值范圍是：[1，

2

）．
故答案為：[-1，

2

]；[-1，1)∪{

2

}；[1，

2

)

點評：本題考查學生掌握直線與圓的位置關系的判別方法，靈活運用數形結合的數學思想解決實際問題．是一道綜合題．