Question

已知直線C₁： ，(t為參數(shù))，圓C₂： (θ為參數(shù))．

（I）當(dāng)α＝時(shí)，求C₁與C₂的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（II）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作C₁的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)．當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

 

Answer 1

【答案】

（I）C₁與C₂的交點(diǎn)為(1,0)，(，－)．（II）P點(diǎn)軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓．

【解析】本試題主要是考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換以及直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。利用參數(shù)方程消去參數(shù)的思想求解軌跡方程的綜合運(yùn)用。

（1）當(dāng)α＝時(shí)，C₁的普通方程為y＝(x－1)，C₂的普通方程為x²＋y²＝1.

聯(lián)立方程組，解得C₁與C₂的交點(diǎn)為(1,0)，(，－)

（II）由C₁的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.

A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin²α，－cosαsinα)，故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為

 ，消去參數(shù)求解得到軌跡方程

解：（I）當(dāng)α＝時(shí)，C₁的普通方程為y＝(x－1)，C₂的普通方程為x²＋y²＝1.

聯(lián)立方程組，解得C₁與C₂的交點(diǎn)為(1,0)，(，－)．…（5分）

（II）C₁的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.

A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin²α，－cosαsinα)，

故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為

 ，(α為參數(shù))． P點(diǎn)軌跡的普通方程為(x－)²＋y²＝.

故P點(diǎn)軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓．