Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)．
(Ⅰ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數(shù)g(x)=x³ +x²在區(qū)間上總存在極值？
（Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個，
使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.
（Ⅱ）當(dāng)在內(nèi)取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值.
（Ⅲ）

解析試題分析：(I)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大（�。┯诹�，求得函數(shù)f(x)的增（減）區(qū)間，要注意含參時對參數(shù)進(jìn)行討論.
（II）根據(jù)可得，從而可求出,進(jìn)而得到,那么本小題就轉(zhuǎn)化為有兩個不等實(shí)根且至少有一個在區(qū)間內(nèi),然后結(jié)合二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)求解即可.
(III)當(dāng)a=2時，令，則
.
然后對p分和兩種情況利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.
（Ⅰ）由知
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.
（Ⅱ）由,    ∴，.   
故，
∴．
∵ 函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，
∴有兩個不等實(shí)根且至少有一個在區(qū)間內(nèi)
又∵函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，
∴ 由，
∵在上單調(diào)遞減，所以； 
∴，由，解得；
綜上得： 
所以當(dāng)在內(nèi)取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值.
（Ⅲ）令，則
.
①當(dāng)時，由得，從而,
所以，在上不存在使得；
②當(dāng)時，,，
在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增.
 
故只要，解得
綜上所述， 的取值范圍是
考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間極值最值當(dāng)中的應(yīng)用.
點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間時，要注意含參時要進(jìn)行討論，并且對于與不等式結(jié)合的綜合性比較強(qiáng)的題目，要注意解決不等式問題時，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值最值研究.