Question

22.如圖，設(shè)點A和B為拋物線（p>0）上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

Answer 1

22.本小題主要考查直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，考查由動點求軌跡方程的基本方法以及方程化簡的基本技能

解：如圖，點A，B在拋物線y²=4px上，

設(shè)A（），B（），OA、OB的斜率分別為k_OA、k_OB.

 

k_OA=，k_OB＝.　　　　　　　           　　　　　　　　　　　　　　

 

由OA⊥OB，得k_OA·k_OB＝，         ①　      

 

依點A在AB上，得直線AB方程

.           　　 ②     

由OM⊥AB，得直線OM方程　y=.    ③　 　　

設(shè)點M（x，y），則x，y滿足②③兩式，將②式兩邊同時乘以，并利用③式整理得

.            　　　 ④　　

由③④兩式得　，

由①式知，，

∴.

因為A、B是原點以外的兩點，所以x≠0.所以點M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點.