Question

如圖，設(shè)點A和B為拋物線y²=4px（p＞0）上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

【答案】分析：由OA⊥OB可得A、B兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積均為定值，由OM⊥AB可用斜率處理，得到M的坐標(biāo)和A、B坐標(biāo)的聯(lián)系，再注意到M在AB上，由以上關(guān)系即可得到M點的軌跡方程；此題還可以考慮設(shè)出直線AB的方程解決．
解答：解：如圖，點A，B在拋物線y²=4px上，
設(shè)，OA、OB的斜率分別為k_OA、k_OB．
∴
由OA⊥AB，得①
依點A在AB上，得直線AB方程
②
由OM⊥AB，得直線OM方程③
設(shè)點M（x，y），則x，y滿足②、③兩式，將②式兩邊同時乘以，
并利用③式整理得
④
由③、④兩式得

由①式知，y_Ay_B=-16p²
∴x²+y²-4px=0
因為A、B是原點以外的兩點，所以x＞0
所以M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點．
點評：本小題主要考查直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，考查由動點求軌跡方程的基本方法以及方程化簡的基本技能．