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        1. 已知多項式f(n)=
          1
          5
          n5+
          1
          2
          n4+
          1
          3
          n3-
          1
          30
          n

          (Ⅰ)求f(-1)及f(2)的值;
          (Ⅱ)試探求對一切整數(shù)n,f(n)是否一定是整數(shù)?并證明你的結(jié)論.
          (Ⅰ) f(-1)=0,f(2)=16.
          (Ⅱ) 對一切整數(shù)n,f(n)一定是整數(shù).
          分析:(Ⅰ)求f(-1)及f(2)的值,直接代入計算即可;
          (Ⅱ)先證明:對一切正整數(shù)n,f(n)是整數(shù).分兩步,其中第二步是關(guān)鍵,利用二項式定理,結(jié)合假設(shè)可證;再證明n=0時,成立;當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時,令n=-m,則m是正整數(shù),由n為正整數(shù)時,成立即可.
          解答:解:(Ⅰ)f(-1)=-
          1
          5
          +
          1
          2
          -
          1
          3
          +
          1
          30
          =0

          f(2)=
          1
          5
          ×25+
          1
          2
          ×24+
          1
          3
          ×23-
          1
          30
          ×2 =17

          (Ⅱ)(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切正整數(shù)n,f(n)是整數(shù).
          ①當(dāng)n=1時,f(1)=1,結(jié)論成立.
          ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N)時,結(jié)論成立,即 f(k)=
          1
          5
          k5+
          1
          2
          k4+
          1
          3
          k3-
          1
          30
          k
          是整數(shù),則當(dāng)n=k+1時,f(k+1)=
          1
          5
          (k+1)5+
          1
          2
          (k+1)4+
          1
          3
          (k+1)3-
          1
          30
          (k+1)
          =
          C
          0
          5
          k5+
          C
          1
          5
          k4+
          C
          2
          5
          k3+
          C
          3
          5
          k2+
          C
          4
          5
          k+
          C
          5
          5
          5
          +
          C
          0
          4
          k4+
          C
          1
          4
          k3+
          C
          2
          4
          k2+
          C
          1
          4
          k+
          C
          4
          4
          2
          +
          C
          0
          3
          k3+
          C
          1
          3
          k2+
          C
          2
          3
          k+
          C
          3
          3
          3
          -
          1
          30
          (k+1)

          =f(k)+k4+4k3+6k2+4k+1
          根據(jù)假設(shè)f(k)是整數(shù),而k4+4k3+6k2+4k+1顯然是整數(shù).
          ∴f(k+1)是整數(shù),從而當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立.
          由①、②可知對對一切正整數(shù)n,f(n)是整數(shù).…(7分)
          (2)當(dāng)n=0時,f(0)=0是整數(shù).…(8分)
          (3)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時,令n=-m,則m是正整數(shù),由(1)f(m)是整數(shù),
          所以 f(n)=f(-m)=
          1
          5
          (-m)5+
          1
          2
          (-m)4+
          1
          3
          (-m)3-
          1
          30
          (-m)
          =-
          1
          5
          m5+
          1
          2
          m4-
          1
          3
          m3+
          1
          30
          m
          =-f(m)+m4是整數(shù).
          綜上,對一切整數(shù)n,f(n)一定是整數(shù).…(10分)
          點評:本題的考點是數(shù)學(xué)歸納法,考查數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟,關(guān)鍵是第二步,必須利用歸納假設(shè),同時,本題的證明還應(yīng)注意分類討論.
          練習(xí)冊系列答案
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          已知多項式f(n)=
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          1
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          n

          (1)求f(1)及f(-1)的值;
          (2)試探求對一切整數(shù)n,f(n)是否一定是整數(shù)?并證明你的結(jié)論.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知多項式f(n)=
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          1
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          n4+
          1
          3
          n3-
          1
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          n

          (Ⅰ)求f(-1)及f(2)的值;
          (Ⅱ)試探求對一切整數(shù)n,f(n)是否一定是整數(shù)?并證明你的結(jié)論.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇省泰州中學(xué)2012屆高三第一次學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題 題型:044

          已知多項式f(n)=n5n4n3n.

          (Ⅰ)求f(-1)及f(2)的值;

          (Ⅱ)試探求對一切整數(shù)n,f(n)是否一定是整數(shù)?并證明你的結(jié)論.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知多項式f(n)=
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          n5+
          1
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          n4+
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          n3-
          1
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          n

          (Ⅰ)求f(-1)及f(2)的值;
          (Ⅱ)試探求對一切整數(shù)n,f(n)是否一定是整數(shù)?并證明你的結(jié)論.

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