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        1. 已知多項式f(n)=n5n4n3n.

          (Ⅰ)求f(-1)及f(2)的值;

          (Ⅱ)試探求對一切整數(shù)n,f(n)是否一定是整數(shù)?并證明你的結(jié)論.

          答案:
          解析:

            (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切正整數(shù)n,是整數(shù).

           、佼(dāng)n=1時,,結(jié)論成立.

           、诩僭O(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N)時,結(jié)論成立,即是整數(shù),則當(dāng)n=k+1時,

            

            

            根據(jù)假設(shè)是整數(shù),而顯然是整數(shù).

            ∴是整數(shù),從而當(dāng)當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立.

            由①、②可知對對一切正整數(shù)n,是整數(shù).7分

            (Ⅱ)當(dāng)n=0時,是整數(shù).8分

            (Ⅲ)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時,令n=-m,則m是正整數(shù),由(1)是整數(shù),

            所以

            是整數(shù).

            綜上,對一切整數(shù)n,一定是整數(shù).10分


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          (2)

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