Question

已知多項(xiàng)式f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n．
（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值；
（Ⅱ）試探求對(duì)一切整數(shù)n，f（n）是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）f（-1）=-

1

5

+

1

2

-

1

3

+

1

30

=0
f(2)=

1

5

×25+

1

2

×24+

1

3

×23-

1

30

×2 =17
（Ⅱ）（1）先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．
①當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N）時(shí)，結(jié)論成立，即f(k)=

1

5

k5+

1

2

k4+

1

3

k3-

1

30

k是整數(shù)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=

1

5

(k+1)5+

1

2

(k+1)4+

1

3

(k+1)3-

1

30

(k+1)=

C 05 k5+ C 15 k4+ C 25 k3+ C 35 k2+ C 45 k+ C 55

5

+

C 04 k4+ C 14 k3+ C 24 k2+ C 14 k+ C 44

2

+

C 03 k3+ C 13 k2+ C 23 k+ C 33

3

-

1

30

(k+1)
=f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1
根據(jù)假設(shè)f（k）是整數(shù)，而k⁴+4k³+6k²+4k+1顯然是整數(shù)．
∴f（k+1）是整數(shù)，從而當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①、②可知對(duì)對(duì)一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．…（7分）
（2）當(dāng)n=0時(shí)，f（0）=0是整數(shù)．…（8分）
（3）當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，令n=-m，則m是正整數(shù)，由（1）f（m）是整數(shù)，
所以f(n)=f(-m)=

1

5

(-m)5+

1

2

(-m)4+

1

3

(-m)3-

1

30

(-m)=-

1

5

m5+

1

2

m4-

1

3

m3+

1

30

m=-f（m）+m⁴是整數(shù)．
綜上，對(duì)一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．…（10分）