Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，問(wèn)：以為直徑的圓是否恒過(guò)軸上的定點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn)，.

【解析】

試題分析：對(duì)問(wèn)題（1），根據(jù)橢圓離心率定義，關(guān)系、菱形面積公式即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；對(duì)問(wèn)題（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)等各點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合以及共線，同時(shí)注意到，進(jìn)而可求得的值，故以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn).

試題解析：（1）依題意，得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2），設(shè)，，，則由題意，可得（＊）且，，

由三點(diǎn)共線，所以，故有，解得，同理可得，假設(shè)存在滿足題意的軸上的定點(diǎn)，則有，即，因?yàn)?/span>，所以，即，整理得，又由（＊）得，所以，解得或.故以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn)，.