Question

【題目】已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于、兩點，若的周長為8.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于，求的縱坐標的范圍；

（3）是否在軸上存在點，使得軸平分?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析： （1）由題意列出關(guān)于的方程組，求出值即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后根據(jù)韋達定理將中點用斜率表示，進而中垂線用表示，最后縱坐標用表示再利用基本不等式求出最值；（3）假設(shè)存在，利用，列出關(guān)于的等式，該等式對任意都成立可求得符合條件的.

試題解析：（1）依題意得，解得，所以方程為.

（2）當不存在時，為原點，,當存在時，則，可得，則，

設(shè)弦的中點為，則，，則，令，有,

綜上所述，的縱坐標的范圍為.

（3）存在.假設(shè)存在，由軸平分可得，,即，有,

將式代入有，解得.

考點: 1、待定系數(shù)法求橢圓的標準方程、基本不等式求最值；2、解析幾何中的存在性問題.

【名師點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標準方程、基本不等式求最值以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在（或者方程有解就存在，沒解就不存在），注意：①當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；②當給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；③當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時采取另外的途徑.