Question

設t≠0，點P(t，0)是函數f(x)=x³+ax與g(x)=bx²+c的圖像的一個公共點，兩函數的圖像在點P處有相同的切線．

(Ⅰ)用t表示a，b，c；

(Ⅱ)若函數y=f(x)-g(x)在(-1，3)上單調遞減，求t的取值范圍．

Answer 1

解：(1)∵函數f(x)，g(x)的圖像都過點(t，0)，

所以f(t)=0即t³+at=0   ∵t≠0  ∴a=-t²

g(t)=0  即bt²+c=0  ∴c=ab

∵f(x)，g(x)在點(t，0)處有相同的切線，所以f′(t)=g′(t)

而f′(x)=3x²+a，g′(x)=2bx  ∴3t²+a=2bt

將a=-t²代入上式得b=t

∵c=ab=-t³      ∴a=-t²，b=t，c=-t³

(Ⅱ)y=f(x)-g(x)=x³-t²x+t³，

y′=3x²-2tx-t²=(3x+t)(x-t)

∵函數y=f(x)-g(x)在(-1，3)上單調遞減且

y′=(3x+t)(x-t)是(-1，3)上的拋物線

∴  即

解得t≤-9或t≥3 

∴t的取值范圍是(-∞，-9)∪[3，+∞) .