【題目】已知
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，求
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)
是的極小值點，求
的最大值.
【答案】（Ⅰ）
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）當(dāng)
時，對函數(shù)求導(dǎo)，再對導(dǎo)函數(shù)
進行求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，最后利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷的正負性，最后確定的單調(diào)性；
（Ⅱ）對函數(shù)求導(dǎo)，再對導(dǎo)函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)進行求導(dǎo)，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
（Ⅰ）當(dāng)時，
，
，顯然
，
設(shè)
，
，
∵
，∴
在
上是增函數(shù)，
當(dāng)
時，
，當(dāng)
時，
，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由
，設(shè)
，
則
，∴在上單調(diào)遞增，
∴存在極小值點
滿足
，即
，
∴
，
令
，則
，
當(dāng)
時，
單調(diào)遞減，
當(dāng)
時，
單調(diào)遞增，
所以當(dāng)
時，
有最大值，即
，
所以
的最大值為.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，平面
平面
，
為正三角形，
為線段
的中點.
（1）證明：平面
平面；
（2）若
與平面
所成角的大小為60°，
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C:
（
）的離心率為
，且橢圓C的中心O關(guān)于直線
的對稱點落在直線
上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P
，M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點，連接
交橢圓C于另一點E，求直線的斜率取值范圍，并證明直線
與x軸相交于定點.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】
年新型冠狀病毒疫情爆發(fā)，貴州省教育廳號召全體學(xué)生“停課不停學(xué)”.自
月
日起，高三年級學(xué)生通過收看“陽光校園·空中黔課”進行線上網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).為了檢測線上網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)效果，某中學(xué)隨機抽取
名高三年級學(xué)生做“是否準(zhǔn)時提交作業(yè)”的問卷調(diào)查，并組織了一場線上測試，調(diào)查發(fā)現(xiàn)有
名學(xué)生每天準(zhǔn)時提交作業(yè)，根據(jù)他們的線上測試成績得頻率分布直方圖(如圖
所示)；另外
名學(xué)生偶爾沒有準(zhǔn)時提交作業(yè)，根據(jù)他們的線上測試成績得莖葉圖(如圖所示，單位：分)
（1）成績不低于
分為
等，低于分為非等.完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有
以上的把握認為成績?nèi)〉?/span>等與每天準(zhǔn)時提交作業(yè)有關(guān)？
準(zhǔn)時提交作業(yè)與成績等次列聯(lián)表 | 單位：人 | ||
A等 | 非A等 | 合計 | |
每天準(zhǔn)時提交作業(yè) | |||
偶爾沒有準(zhǔn)時提交作業(yè) | |||
合計 | |||
（2）成績低于
分為不合格，從這名學(xué)生里成績不合格的學(xué)生中再抽取
人，其中每天準(zhǔn)時提交作業(yè)的學(xué)生人數(shù)為
，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在極坐標(biāo)系中，點
的極坐標(biāo)是
，曲線
的極坐標(biāo)方程為
.以極點為坐標(biāo)原點，極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為
的直線
經(jīng)過點.
（1）若
時，寫出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線和曲線相交于不同的兩點
，求線段
的中點
的在直角坐標(biāo)系中的軌跡方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】閱讀下列材料，回答所提問題：設(shè)函數(shù)
，①的定義域為
，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；②是偶函數(shù)；③在
上不是單調(diào)函數(shù)；④恰有
個零點，寫出符合上述①②④條件的一個函數(shù)的解析式是______；寫出符合上述所有條件的一個函數(shù)的解析式是______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】BMI指數(shù)（身體質(zhì)量指數(shù)，英文為BodyMassIndex，簡稱BMI）是衡量人體胖瘦程度的一個標(biāo)準(zhǔn)，BMI=體重（kg）/身高（m）的平方.根據(jù)中國肥胖問題工作組標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)BMI≥28時為肥胖.某地區(qū)隨機調(diào)查了1200名35歲以上成人的身體健康狀況，其中有200名高血壓患者，被調(diào)查者的頻率分布直方圖如下：
（1）求被調(diào)查者中肥胖人群的BMI平均值
；
（2）填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為35歲以上成人患高血壓與肥胖有關(guān).
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
肥胖 | 不肥胖 | 合計 | |
高血壓 | |||
非高血壓 | |||
合計 |
附：
，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個頂點都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某城市先后采用甲、乙兩種方案治理空氣污染各一年，各自隨機抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的檢測數(shù)據(jù)進行分析，若空氣質(zhì)量指數(shù)值在[0，300]內(nèi)為合格，否則為不合格.表1是甲方案檢測數(shù)據(jù)樣本的頻數(shù)分布表，如圖是乙方案檢測數(shù)據(jù)樣本的頻率分布直方圖.
表1：
API值 | [0，50] | （50，100] | （100，150] | （150，200] | （200，250] | （250，300] | 大于300 |
天數(shù) | 9 | 13 | 19 | 30 | 14 | 11 | 4 |
（1）將頻率視為概率，求乙方案樣本的頻率分布直方圖中
的值，以及乙方案樣本的空氣質(zhì)量不合格天數(shù)；
（2）求乙方案樣木的中位數(shù)；
（3）填寫下面2×2列聯(lián)表（如表2），并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為該城市的空氣質(zhì)量指數(shù)值與兩種方案的選擇有關(guān).
表2：
甲方案 | 乙方案 | 合計 | |
合格天數(shù) | _______ | _______ | _______ |
不合格天數(shù) | _______ | _______ | _______ |
合計 | _______ | _______ | _______ |
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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