Question

如圖，在正方形中，為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，分別將線段和十等分，分點分別記為和，連接，過作軸的垂線與交于點。

（Ⅰ）求證：點都在同一條拋物線上，并求拋物線的方程；

（Ⅱ）過點作直線與拋物線E交于不同的兩點, 若與的面積之比為4:1，求直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）見解析（Ⅱ）直線的方程為，即或

【解析】（Ⅰ）依題意，過且與x軸垂直的直線方程為

，直線的方程為

設坐標為，由得：，即，

都在同一條拋物線上，且拋物線方程為

（Ⅱ）依題意：直線的斜率存在，設直線的方程為

由得

此時，直線與拋物線恒有兩個不同的交點

設：，則

又，

分別帶入，解得

直線的方程為，即或

此題在問法上給學生設了一個卡，如果第一問直接問的軌跡方程，估計學生更容易入手一些，不過對于知識要活學活用（證明它求出不就說明問題了）。那么第二問有關(guān)解析幾何的計算就要善于轉(zhuǎn)化，且計算要過關(guān)。

【考點定位】 本題考查拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想。屬于中等難度。