Question

【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝b1＝1，S2＝.

(1)若b2是a1，a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)若an∈N＋，數(shù)列{}是公比為9的等比數(shù)列，求證：＋＋＋…＋＜.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1或an＝6－5n，bn＝(－4)n－1.（2）證明見解析。

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出d，q，再求出通項(xiàng)公式.（2）利用數(shù)列{ban}是公比為9的等比數(shù)列，求出d＝2，q＝3.再放縮成能利用裂項(xiàng)求和的方法即可.

(1)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.

因?yàn)?/span>S2＝，所以a1＋a1＋d＝.

而a1＝b1＝1，則q(2＋d)＝12.①

因?yàn)?/span>b2是a1，a3的等差中項(xiàng)，

所以a1＋a3＝2b2，

即1＋1＋2d＝2q，

即1＋d＝q.②

聯(lián)立①②，

解得或

所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.

(2)證明：因?yàn)?/span>an∈N＋，

ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，

所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③

由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④

因?yàn)?/span>a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.

根據(jù)③④，知q＞1且q為正整數(shù)．

所以d可為0或1或2或4.但同時(shí)滿足③④兩個(gè)等式的只有d＝2，q＝3，

所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.

所以＝＜＝(n≥2)．

當(dāng)n≥2時(shí)，

＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋

＝1＋

＝1＋＝－＜.

顯然，當(dāng)n＝1時(shí)上式也成立．

故n∈N＋，＋＋…＋＜.