【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)
,且離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)、
在橢圓
上,且四邊形
是矩形,求矩形
的面積
的最大值.
【答案】(1)(2)矩形
面積
的最大值為
.
【解析】
(1)由橢圓過點(diǎn),且離心率為
,得到
,
,進(jìn)而可求出結(jié)果;
(2)先由題意知直線不垂直于
軸,設(shè)直線
,聯(lián)立直線與橢圓方程,設(shè)
,
,根據(jù)韋達(dá)定理和題中條件可求出
;再求出
的最大值即可得出結(jié)果.
解:(1)因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)
,且離心率為
,
所以,
,又因?yàn)?/span>
,
可解得,
,焦距為
.
所求橢圓的方程為.
(2)由題意知直線不垂直于
軸,可設(shè)直線
,
由得
,
設(shè),
,則
,
又因?yàn)?/span>,
,
所以
化簡(jiǎn)可得.
所以
設(shè),
,則
,
所以.
令,因?yàn)?/span>
所以在
上單調(diào)遞減,所以
.
設(shè)直線與
軸交于點(diǎn)
,
因?yàn)榫匦?/span>面積
所以矩形面積
的最大值為
.
此時(shí)直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某些競(jìng)賽活動(dòng)中,選手的最終成績(jī)是將前面所有輪次比賽成績(jī)求算術(shù)平均獲得的.同學(xué)們知道這樣一個(gè)事實(shí):在所有輪次的成績(jī)中,如果由高到低依次去掉一些高分,那么平均分降低;反之,如果由低到高依次去掉一些低分,那么平均分提高. 這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語言描述為:若有限數(shù)列滿足
,且
不全相等,則(1)_______;(2)_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),
是兩條不同的直線,
,
,
是三個(gè)不同的平面.有下列四個(gè)命題:
①若,
,
,則
;
②若,
,則
;
③若,
,
,則
;
④若,
,
,則
.
其中正確命題的序號(hào)是( )
A.①③B.①④C.②③④D.②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形
是邊長(zhǎng)為8的菱形,
,
是等邊三角形,二面角
的余弦值為
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求直線與平面
夾角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為研究男、女生的身高差異,現(xiàn)隨機(jī)從高二某班選出男生、女生各10人,并測(cè)量他們的身高,測(cè)量結(jié)果如下(單位:厘米):
男:164 178 174 185 170 158 163 165 161 170
女:165 168 156 170 163 162 158 153 169 172
(1)根據(jù)測(cè)量結(jié)果完成身高的莖葉圖(單位:厘米),并分別求出男、女生身高的平均值.
(2)請(qǐng)根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到20名學(xué)生身高的中位數(shù)(單位:厘米),將男、女生身高不低于
和低于
的人數(shù)填入下表中,并判斷是否有
的把握認(rèn)為男、女生身高有差異?
人數(shù) | 男生 | 女生 |
身高 | ||
身高 |
參照公式:
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | .024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(3)若男生身高低于165厘米為偏矮,不低于165厘米且低于175厘米為正常,不低于175厘米為偏高.假設(shè)可以用測(cè)量結(jié)果的頻率代替概率,試求從高二的男生中任意選出2人,恰有1人身高屬于正常的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓的直徑,
垂直圓所在的平面,
是圓上的一點(diǎn).
(1)求證:平面 平面
;
(2)若,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為
,其上一點(diǎn)
在準(zhǔn)線上的射影為
,△
恰為一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過定點(diǎn)的直線
交拋物線
于
,
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)曲線在點(diǎn)
處的切線與直線
垂直時(shí),求
的值;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱錐A-BPC中,,M為AB的中點(diǎn),D為PB的中點(diǎn),且
為正三角形.
(1)求證:平面APC;
(2)若,
,求三棱錐D-BCM的體積.
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