Question

（2012•德州一模）如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=3，M為CE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求直線DB與平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II），以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，求出

m

=（1，1，

2

3

）為平面BEC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得直線DB與平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）確定

DA

=(1，0，0)為平面DEC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值．

解答：（I）證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（II）解：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
又AD⊥CD，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，3），
設(shè)

m

=（x，y，z）為平面BEC的一個(gè)法向量，因?yàn)?span id="jvrfap0" class="MathJye">

BC

=（-1，1，0），

CE

=（0，-2，3）
∴

-x+y=0   -2y+3z=0

，令x=1，得y=1，z=

2

3

所以

m

=（1，1，

2

3

）為平面BEC的一個(gè)法向量
∵

DB

=(1，1，0)
∴cos＜

DB

，

m

＞=|

DB • m

| DB || m |

|=

3

11

11

∴直線DB與平面BEC所成角的正弦值為

3

11

11

；
（Ⅲ）∵矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，
∴DA⊥平面DEC
∴

DA

=(1，0，0)為平面DEC的一個(gè)法向量
∴平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值為|

DA • m

| DA || m |

|=

3

22

22

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．