Question

（2013•東城區(qū)一模）某班聯(lián)歡會舉行抽獎(jiǎng)活動，現(xiàn)有六張分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字的形狀相同的卡片，其中標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎(jiǎng)卡片，且獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)與卡片上所標(biāo)數(shù)字相同，游戲規(guī)則如下：每人每次不放回抽取一張，抽取兩次．
（Ⅰ）求所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)達(dá)到最大時(shí)的概率；
（Ⅱ）記獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意可知所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)最大時(shí)是同時(shí)抽到4與6，其和為10．從6張卡片依次不放回的抽取2張有

A

2 6

種方法，其中抽到2張分別為4和6的方法有

A

2 2

種．利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；
（II）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率計(jì)算與（I）解釋同理．①兩次取得都是奇數(shù)，則P（X=0）=

A 2 3

A 2 6

；②兩次中有一次取得是2，而另一次是奇數(shù)，
P（X=2）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；③兩次中有一次取得是4，而另一次是奇數(shù)，P（X=4）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；④兩次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇數(shù)，P（X=6）=

A 2 2 +2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；
⑤兩次取得是2和6，P（X=8）=

A 2 2

A 2 6

；⑥由（I）可得P（X=10）=

1

15

．即可得到分布列．再利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)最大時(shí)是同時(shí)抽到4與6，其和為10，
從6張卡片依次不放回的抽取2張有

A

2 6

種方法，其中抽到2張分別為4和6的方法有

A

2 2

種．
依次所求的概率為：p=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

．
（Ⅱ）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率計(jì)算與（I）解釋同理．
①兩次取得都是奇數(shù)，則P（X=0）=

A 2 3

A 2 6

=

1

5

；
②兩次中有一次取得是2，而另一次是奇數(shù)，P（X=2）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

1

5

；
③兩次中有一次取得是4，而另一次是奇數(shù)，P（X=4）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

1

5

；
④兩次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇數(shù)，P（X=6）=

A 2 2 +2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

4

15

；
⑤兩次取得是2和6，P（X=8）=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

；
⑥由（I）可得P（X=10）=

1

15

．
于是可得X的分布列如下：

X	0	2	4	6	8	10
p	1 5	1 5	1 5	4 15	1 15	1 15

所以EX=0×

1

5

+2×

1

5

+4×

1

5

+6×

4

15

+8×

1

15

+10×

1

15

=4．

點(diǎn)評：熟練掌握古典概型的意義及概率計(jì)算公式、分類討論的思想方法、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．