Question

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，且離心率為，圓．

(1)求橢圓C的方程，

(2)點(diǎn)P在圓D上，F為橢圓右焦點(diǎn)，線段PF與橢圓C相交于Q，若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)短軸長(zhǎng)和離心率求解出，從而得到橢圓方程；（2）假設(shè)坐標(biāo)，利用可得，代入圓中整理消元可得到關(guān)于的等式：，則此方程在上必有解；將方程左側(cè)看做二次函數(shù)，通過二次函數(shù)圖像，討論得出的取值范圍.

（1）由題可知，又，解得

橢圓的方程為

（2）由（1）知圓 ，點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)，，由可得：，

所以，由可得：

又，代入，消去，整理成關(guān)于的等式為：

，則此方程在上必須有解

令

則，，

若，則（舍去）或

若，則（舍去）或

若在上有且僅有一實(shí)根

則由得：

若在上有兩實(shí)根（包括兩相等實(shí)根）

則解得：

綜上可得：的取值范圍是