Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R），

且關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集為R，

∴△=（a+1）2﹣4≤0，

解得﹣3≤a≤1，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣3≤a≤1

（2）解：∵關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集是P，

集合Q={x|0≤x≤1}，當(dāng) P∩Q=時(shí)，

即不等式f（x）＞0對(duì)x∈Q恒成立；

∴x∈[0，1]時(shí)，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，

∴a+1＜x+ 對(duì)于x∈（0，1]時(shí)恒成立；

∴a+1＜2，

即a＜1，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜1

【解析】（1）應(yīng)用一元二次不等式恒成立時(shí)判別式△≤0，求出a的取值范圍；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式f（x）＞0對(duì)x∈Q恒成立，由此求出a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．