Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，，平面ADE，

求證：．

若，，且直線BD與平面ABFE所成的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

推導(dǎo)出，，，從而平面ABEF，進(jìn)而，再由，得平面EFCD，由此能證明．

由平面ABEF，得是BD與平面ABEF所成角，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角的余弦值．

證明：平面ADE，，，

，，

平面ABEF，，

，，平面EFCD，

．

解：由知平面ABEF，

是BD與平面ABEF所成角，

如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，

，

解得或舍，，，

0，，0，，2，，1，，4，，

，2，，

設(shè)平面FCB的法向量y，，

則，取，得1，，

由題意得：平面平面ADE，平面平面，取AD的中點(diǎn)M，

連結(jié)EM，則，平面ABCD，

又，平面ABCD的法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，

則．

二面角的余弦值為．