Question

如圖，三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心，M為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；
（2）當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

試題分析：（1）證明平面平面，證明面面垂直，先證線面垂直，即證一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，本題根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面內(nèi)找一條直線與平面垂直，由已知平面，可得，由題意可知，是等腰三角形，且為重心，既得，從而得平面，可證平面平面；（2）當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值，求線面角，傳統(tǒng)方法是找線和射影所成的角，本題找射影比較麻煩，可用向量法來(lái)求，過(guò)作的平行線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，利用線面角的正弦值等于線和法向量所成角的余弦值即可求出直線與平面所成角的正弦值．
試題解析：（1）取中點(diǎn)，連接、，
∵平面，∴
等腰中，為重心，∴
∴平面 
∴平面平面               6分
（2）中， ∴
∵平面 ∴
∴ ∴
過(guò)作的平行線為軸，為軸，為軸
建立空間直角坐標(biāo)系
   
∴  
設(shè)直線與平面所成角為
設(shè)平面的法向量為 
     ∴

 ∴     12分