Question

f（x）=ax³+bx²+cx+d，定義y=f″（x）是函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)函數(shù)．若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對稱中心，且拐點(diǎn)就是對稱中心．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

，則g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值為

6033

2

．

Answer 1

分析：先求g′（x）的解析式，再求g″（x），由g″（x）=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用中心對稱知識，把要求的g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值轉(zhuǎn)化為對稱中心點(diǎn)的函數(shù)值．

解答：解：依題意，得：g′（x）=x²-x+3，∴g″（x）=2x-1．
由g″（x）=0，即2x-1=0，得：x=

1

2

，
把x=

1

2

代入函數(shù)g（x）的解析式得：g（

1

2

）=

3

2

，
∴函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

對稱中心為（

1

2

，

3

2

）．
則g(

1

2012

)+g(

2011

2012

)=g(

2

2012

)+g(

2010

2012

)=…=2g(

1006

2012

)=2g(

1

2

)．
所以，g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值為2011g(

1

2

)=2011×

3

2

=

6033

2

．
故答案為

6033

2

．

點(diǎn)評：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱的條件，解答此題的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用對稱知識把要求解的問題轉(zhuǎn)化為中心對稱點(diǎn)的函數(shù)值問題，此題是中檔題．