Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率，直線交橢圓于、兩點(diǎn)．

（1）若直線的方程為，求弦的長；

（2）如果的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，求直線方程的一般式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由已知中橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率，根據(jù)，，可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求直線的方程及弦長公式，得到弦的長；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，，結(jié)合（1）中結(jié)論，及的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，由重心坐標(biāo)公式，可得點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式及，也在橢圓上，求出的斜率，可得直線方程．

解：（1）由已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，

，

又離心率，

即，

，解得，

橢圓方程為；

由與聯(lián)立，

消去得，

，，

所求弦長；

（2）橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)線段的中點(diǎn)為，，

由三角形重心的性質(zhì)知，又，

，，，

故得，，

求得的坐標(biāo)為；

設(shè)，，，，則，，

且，

以上兩式相減得，

，

故直線的方程為，即．