Question

(12分)集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的：
①函數(shù)f(x)的定義域是[0，＋∞)；
②函數(shù)f(x)的值域是[－2,4)；
③函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，試分別探究下列兩小題：
(1)判斷函數(shù)f₁(x)＝－2(x≥0)及f₂(x)＝4－6·^x(x≥0)是否屬于集合A？并簡(jiǎn)要說明理由；
(2)對(duì)于(1)中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)f(x)，不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)是否對(duì)于任意的x≥0恒成立？若不成立，為什么？若成立，請(qǐng)說明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(1)函數(shù)f₁(x)＝－2不屬于集合A.因?yàn)閒₁(x)的值域是[－2，＋∞)，所以函數(shù)f₁(x)＝－2不屬于集合A.f₂(x)＝4－6·^x(x≥0)在集合A中，因?yàn)椋孩俸瘮?shù)
f₂(x)的定義域是[0，＋∞)；②f₂(x)的值域是[－2,4)；③函數(shù)f₂(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．
(2)∵f(x)＋f(x＋2)－2f(x＋1)＝6·^x<0，
∴不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)對(duì)任意的x≥0恒成立．

略