Question

【題目】已知函數f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.

（1）當a=2時，求證：﹣3≤f(x)≤3；

（2）若關于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

（1）代入，利用絕對值不等式的性質可得，進而得證；

（2）分及兩種情況討論，每種情況下都把函數f(x)化為分段函數的形式，再根據題意轉化為關于的不等式，每種情況解出后最后取并集即可.

（1）證明：當a=2時，f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|，

∴||x﹣2|﹣|x﹣5|||x﹣2﹣(x﹣5)|=3，

∴﹣3|x﹣2|﹣|x﹣5|3，即﹣3f(x)3；

（2）解：f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|，

①當a5時，，則f(x)max=a﹣5，且y=x2﹣8x+20=x2﹣8x+16+4=(x﹣4)2+44，

要使f(x) x2﹣8x+20在R恒成立，則只需4a﹣5，則a9，此時5a9；

②當a<5時，，

需要恒成立，

∴，

∴，

綜合①②可知，0a9，即實數a的取值范圍為[0，9].